Нечеткие множества как проекции случайных множеств

С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции принадлежности (в непрерывном случае — интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на S (при S

0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого «примитивного» сведения», поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности

? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.

В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [1,4]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: «Арифметика применима тогда, когда она применима» (см. его монографию [6, с.21-22]).

При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы

— см., например, монографию ). Напомним, что эти две аксиоматики — евклидовой геометрии и арифметики — на первый взгляд весьма сильно различаются.

Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.

Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1974 г. в работе было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как «проекции» случайных множеств. Рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение 2. Пусть

— случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается Proj A, если

(8)

при всех

Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (8) нечеткое множество В = Proj A.

Оказывается, верно и обратное.

Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = Proj A.

Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А. Пусть У1 — носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что

при некотором m и элементы У1 занумерованы в таком порядке, что

Введем множества

Положим

Для всех остальных подмножеств Х множества У положим Р(А=Х)=0. Поскольку элемент yt входит во множества Y(1), Y(2),…, Y(t) и не входит во множества Y(t+1),…, Y(m), то из приведенных выше формул следует, что

Если

то, очевидно,

Теорема 3 доказана.

Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений главы 8 монографии , полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.

Теорема 4. Для случайного подмножества А множества У из конечного числа элементов наборы чисел

и

выражаются один через другой.

Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:

Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой

В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества Y\X, во второй сумме переменные суммирования у1 и у2 не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 4.

В соответствии с теоремой 4 случайное множество А можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел

В этом наборе

а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа

следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = Card(Y) параметров из (2k-1) параметров, задающих распределение случайного множества А в общем случае.

Будет полезна следующая теорема.

Теорема 5. Если Proj A = B, то

Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств

формулой для вероятности накрытия

, определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех P(A=X) равна 1. При этом под формулой для вероятности накрытия имеется в виду следующее утверждение: чтобы найти вероятность накрытия фиксированного элемента q случайным подмножеством S конечного множества Q, достаточно вычислить

где суммирование идет по всем подмножествам A множества Q, содержащим q.

Январь 24, 2019 Психология труда, инженерная психология, эргономика
Еще по теме
2.4.6. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЧЕТКИХ И СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ
24.7. СВЕДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД СЛУЧАЙНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
2.4.4. О СТАТИСТИКЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
2.4.1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА ДЛЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
ДИСТРИБУТИВНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
2.4.2. ПРИМЕР ОПИСАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА
2.4.3. О РАЗРАБОТКЕ МЕТОДИКИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
ИНТЕЛЛЕКТ КАК МНОЖЕСТВО СПОСОБНОСТЕЙ
Задание 7. МНОЖЕСТВА
СРЕДИ МНОЖЕСТВА РАЗНОРОДНЫХ ЖИЗНЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ ЛИЧНОСТИ С. Л. РУБИНШТЕЙН ОСОБО ВЫДЕЛЯЕТ ЛЮБОВЬ КАК ОТНОШЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА К ЧЕЛОВЕКУ.
ЛИЦО - СИСТЕМА, КОТОРАЯ ПЕРЕДАЕТ МНОЖЕСТВО СИГНАЛОВ И ИНФОРМАЦИИ.
ВКЛЮЧЕНИЕ МНОЖЕСТВА НОВЫХ ТЕМ: УЧЕТ СОВРЕМЕННЫХ ДАННЫХ
СОВРЕМЕННАЯ ПСИХОТЕРАПИЯ КОМБИНИРУЕТ МНОЖЕСТВО РАЗЛИЧНЫХ ШКОЛ И НАПРАВЛЕНИЙ,
Постоянно используя множество вариантов агрессии, мы приучились реагировать в основном на сильные раздражители.
Обобщенность действия. Отделение существенных свойств от несущественных. Способ: преподнесение сначала общей схемы, а не конкретного примера. Такая схема будет усваиваться сама по себе. В процессе применения схемы к множеству частных примеров она становится неким общим. Материалы для подбора:
Добавить комментарий