ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЧЕТКИХ И СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ

Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1) и теоремы 5 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.

Теорема 6. Если случайные подмножества А1 и А2 конечного множества У независимы, то нечеткое множество

является произведением нечетких множеств Proj A1 и Proj A2.

Доказательство. Надо показать, что для любого

(9)

По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством (см. выше)

(10)

Легко проверить, что распределение пересечения случайных множеств

можно выразить через их совместное распределение следующим образом:

(11)

Из соотношений (10) и (11) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы

(12)

Заметим теперь, что правую часть формулы (12) можно переписать следующим образом:

(13)

Действительно, формула (12) отличается от формулы (13) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования

принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (12) и (13) вытекает равенство

Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством.

Определение 3.

Носителем случайного множества С называется совокупность всех тех элементов

для которых

Теорема 7. Равенство

верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств

и

пусто.

Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых

(14)

Положим

Тогда равенство (14) сводится к условию

(15)

Ясно, что соотношение (15) выполнено тогда и только тогда, когда р2р3=0 при всех

т.е. не существует ни одного элемента

такого, что одновременно

и

, а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств

и

. Теорема 7 доказана.

Январь 24, 2019 Психология труда, инженерная психология, эргономика
Еще по теме
2.4.5. Нечеткие множества как проекции случайных множеств
24.7. СВЕДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД СЛУЧАЙНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
2.4.4. О СТАТИСТИКЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
2.4.1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА ДЛЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
ДИСТРИБУТИВНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
2.4.2. ПРИМЕР ОПИСАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА
2.4.3. О РАЗРАБОТКЕ МЕТОДИКИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
КОРРЕЛЯЦИЯ КАК ПРОИЗВЕДЕНИЕ МОМЕНТОВ
Бахтин В.В. ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МУЗЫКАЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ТИПЫ ОТНОШЕНИЯ К ПРОИЗВЕДЕНИЯМ ХУДОЖЕ-СТВЕННОГО КИНЕМАТОГРАФА
2.4. ОПИСАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ НЕЧЕТКОСТИ
ВЫБОР: МАКСИМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОЖИДАНИЯ И ПОБУДИТЕЛЬНОСТИ
Кокарева Мария Владимировна ИССЛЕДОВАНИЕ ВОСПРИЯТИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ЖИВОПИСИ КАК ТВОРЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Сидненко Т.И. КОНФЛИКТ КАК ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ И СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЕ ЯВЛЕНИЕ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ Н.И.КАРЕЕВА
Задание 7. МНОЖЕСТВА
Добавить комментарий