НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЁВА.

Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решении. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений не известен (см. ниже, где, в частности, они применяются в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений).

Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е.

для любого

). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых

. Получим, что

. (9)

Для всех слагаемых в правой части (9)

, поэтому

. (10)

Из (9) и (10) следует требуемое.

Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство

.

Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х))2. Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

.

Положим b = a2.

Событие {Y>b} совпадает с событием {|X – M(X)|>a}, а потому

,

что и требовалось доказать.

Пример 11. Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.

Достаточно рассмотреть

. Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1 и Р(а>a) = 1, т.е. P(X>a) = M(X)|a = 1.

Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании процессов принятия решений, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.

Пример 12. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а, что первое неравенство Чебышёва является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное а, меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.

Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. А для такой случайной величины при любом положительном а и левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0.

Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины Х? А требование положительности а? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.

Январь 24, 2019 Психология труда, инженерная психология, эргономика
Еще по теме
Л. Г. Дмитриева НЕРАВЕНСТВО ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ПОЗИЦИЙ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
ПЛАНИРОВАНИЕ НОМЕНКЛАТУРЫ И ОБЪЕМОВ ВЫПУСКА.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.
ОТ КОНТРОЛЯ К ПОПОЛНЕНИЮ ПАРТИИ.
3.2.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ МАКСИМИЗАЦИИ ПОТОКА.
От системы контроля к системе технического обслуживания.
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ.
Глава 2. Гендерные стереотипы, или Мужчины и женщины в глазах общества
ВЫГОДНО ЛИ ВВЕДЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ?
НАПРАВЛЕННЫЙ ПЕРЕБОР.
5. Общетрудовые и специальные умения и навыки
НОТНА ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО КОНТРАСТА.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ КАК НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ ДИСЦИПЛИНА.
Задачи одномерной статистики (статистики случайных величин).
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА.
МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ.
АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЛАН.
Добавить комментарий