НОТНА ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО КОНТРАСТА.

Аналогично (30) нетрудно получить, что

(34)

Следовательно,

есть разность правых частей формул (30) и (34). Найдем максимально возможное значение (т.е. нотну) величины

при ограничениях (1) на абсолютные погрешности результатов измерений.

Покажем, что при

для некоторого C>0 нотна имеет вид

(35)

Поскольку

то из (33) и (35) следует, что

(36)

Можно сказать, что наличие погрешностей

приводит к появлению систематической ошибки (смещения) у оценки метода максимального правдоподобия, и нотна является максимально возможным значением этой систематической ошибки.

В правой части (36) первое слагаемое – квадрат асимптотической нотны, второе соответствует статистической ошибке. Приравнивая их, получаем рациональный объем выборки

Остается доказать соотношение (35) и вычислить С. Укажем сначала условия, при которых

(по вероятности) при

одновременно с

Теорема 3. Пусть существуют константа

и функции g1(x), g2(x), g3(x) такие, что при

и

выполнены неравенства (ср. формулу (27))

…(37)

при всех x. Пусть для случайной величины х1, распределение которой соответствует

, существуют m1 = Mg1(x1), m2 = Mg2(x1) и m3 = Mg3(x1). Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

(по вероятности) при

,

.

Доказательство проведем по схеме доказательства теоремы 1. Из неравенств (37) вытекает, что

(38)

Возьмем

и

В силу закона больших чисел (теорема Хинчина) существует

такое, что для любого

справедливы неравенства

Тогда с вероятностью не менее

одновременно выполняются соотношения

В силу (38) при этом

Пусть

Тогда с вероятностью не менее

одновременно выполняются соотношения (ср.

(32))

Завершается доказательство дословным повторением такового в теореме 1, с единственным отличием – заменой в обозначениях x на y.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и, кроме того, существуют математические ожидания (при

)

(39)

Тогда выполнено соотношение (35) с

(40)

Доказательство. Воспользуемся следующим элементарным соотношением. Пусть a и b – бесконечно малые по сравнению с Z и B соответственно. Тогда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

Чтобы применить это соотношение к анализу

в соответствии с (30), (34) и теоремой 2, положим

В силу условий теоремы 4 при малых

с точностью до членов более высокого порядка

При

эти величины бесконечно малы, а потому с учетом сходимости B1(x) к А и теоремы 3

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, где

Ясно, что задача оптимизации

(41)

имеет решение

при этом максимальное значение линейной формы есть

Поэтому

(42)

С целью упрощения правой части (42) воспользуемся тем, что

(43)

где

Поскольку при

по вероятности, то второе слагаемое в (43) сходится к 0, а первое в силу закона больших чисел с учетом (39) сходится к СА2, где С определено в (40). Теорема 4 доказана.

Январь 24, 2019 Психология труда, инженерная психология, эргономика
Еще по теме
ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО КОНТРАСТА.
СВЕТЛОТНЫЙ КОНТРАСТ
5.7. КОНТРАСТ
КОНТРАСТ И ЦВЕТ
ИЛЛЮЗИИ КОНТРАСТА
РЕШЕТЧАТЫЕ ПАТТЕРНЫ И КОНТРАСТ.
ПОВЕДЕНЧЕСКИЙ КОНТРАСТ (BEHAVIORAL CONTRAST)
МИНИМАЛЬНАЯ ЗАРПЛАТА И ПРОЖИТОЧНЫЙ МИНИМУМ.
УПРАЖНЕНИЕ «БИОГРАФИЧЕСКИЕ КОНТРАСТЫ».
ОДНОВРЕМЕННЫЙ ЦВЕТОВОЙ КОНТРАСТ
МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
Добавить комментарий