ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО КОНТРАСТА.

Пусть Х – пространство, в котором лежат независимые одинаково распределенные случайные элементы

Будем оценивать элемент пространства параметров

с помощью функции контраста

Оценкой минимального контраста называется

Если множество

состоит из более чем одного элемента, то оценкой минимального контраста называют также любой элемент

.

Оценками минимального контраста являются, в частности, многие робастные статистики [3,36]. Эти оценки широко используются в статистике объектов нечисловой природы [3,27], поскольку при

переходят в переходят в эмпирические средние, а если

— пространство бинарных отношений – в медиану Кемени.

Пусть в Х имеется мера

(заданная на той же

-алгебре, что участвует в определении случайных элементов xi ), и

— плотность распределения xi по мере

. Если

то оценка минимального контраста переходит в оценку максимального правдоподобия.

Асимптотическое поведение оценок минимального контраста в случае пространств Х и

общего вида хорошо изучено , в частности, известны условия состоятельности оценок. Здесь ограничимся случаем X = R1, но при этом введя погрешности измерений

Примем также, что

В рассматриваемой математической модели предполагается, что статистику известны лишь искаженные значения

Поэтому вместо

он вычисляет

Будем изучать величину

в предположении, что погрешности измерений

малы. Цель этого изучения – продемонстрировать идеи статистики интервальных данных при достаточно простых предположениях. Поэтому естественно следовать условиям и ходу рассуждений, которые обычно принимаются при изучении оценок максимального правдоподобия [38, п.33.3].

Пусть

— истинное значение параметра, функция

трижды дифференцируема по

, причем

при всех

Тогда

(27)

где

Используя обозначения векторов x = (x1 , x2 ,…, xn ), y = (y1 , y2 ,…, yn ), введем суммы

Аналогичным образом введем функции B0(y), B1(y), R(y), в которых вместо xi стоят yi, i=1,2,…,n.

Поскольку в соответствии с теоремой Ферма оценка минимального контраста

удовлетворяет уравнению

(28)

то, подставляя в (27) xi вместо x и суммируя по i = 1,2,…,n, получаем, что

(29)

откуда

(30)

Решения уравнения (28) будем также называть оценками минимального контраста.

Хотя уравнение (28) – лишь необходимое условие минимума, такое словоупотребление не будет вызывать трудностей.

Теорема 1. Пусть для любого x выполнено соотношение (27). Пусть для случайной величины х1 с распределением, соответствующим значению параметра

существуют математические ожидания

(31)

Тогда существуют оценки минимального контраста

такие, что

при

(в смысле сходимости по вероятности).

Доказательство. Возьмем

и

В силу закона больших чисел (теорема Хинчина) существует

такое, что для любого

справедливы неравенства

Тогда с вероятностью не менее

одновременно выполняются соотношения

(32)

При

рассмотрим многочлен второй степени

(см. формулу (29)). С вероятностью не менее

выполнены соотношения

Если

то знак

в точках

и

определяется знаком линейного члена

следовательно, знаки

и

различны, а потому существует

такое, что

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 2 и, кроме того, для случайной величины х1, распределение которой соответствует значению параметра

существует математическое ожидание

Тогда оценка минимального контраста имеет асимптотически нормальное распределение:

(33)

для любого х, где Ф(x) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Доказательство. Из центральной предельной теоремы вытекает, что числитель в правой части формулы (30) асимптотически нормален с математическим ожиданием 0 и дисперсией

Первое слагаемое в знаменателе формулы (30) в силу условий (31) и закона больших чисел сходится по вероятности к

а второе слагаемое по тем же основанием и с учетом теоремы 1 – к 0. Итак, знаменатель сходится по вероятности к

Доказательство теоремы 2 завершает ссылка на теорему о наследовании сходимости [3,параграф 2.4].

Январь 24, 2019 Психология труда, инженерная психология, эргономика
Еще по теме
НОТНА ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО КОНТРАСТА.
СВЕТЛОТНЫЙ КОНТРАСТ
5.7. КОНТРАСТ
КОНТРАСТ И ЦВЕТ
ИЛЛЮЗИИ КОНТРАСТА
РЕШЕТЧАТЫЕ ПАТТЕРНЫ И КОНТРАСТ.
ПОВЕДЕНЧЕСКИЙ КОНТРАСТ (BEHAVIORAL CONTRAST)
МИНИМАЛЬНАЯ ЗАРПЛАТА И ПРОЖИТОЧНЫЙ МИНИМУМ.
УПРАЖНЕНИЕ «БИОГРАФИЧЕСКИЕ КОНТРАСТЫ».
ОДНОВРЕМЕННЫЙ ЦВЕТОВОЙ КОНТРАСТ
МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
ВОСПРИЯТИЕ КОНТУРА И КОНТРАСТА
Минимальная мозговая дисфункция (недостаточность)
VII. НАУЧНОЕ ТВОРЧЕСТВО «ПО АНАЛОГИИ» И «ПО КОНТРАСТУ»
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ЦВЕТОВОЙ КОНТРАСТ
РАСЧЕТ СТОИМОСТИ МИНИМАЛЬНОЙ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КОРЗИНЫ ПРОДОВОЛЬСТВЕННЫХ ТОВАРОВ.
Добавить комментарий