СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ.

Изучим влияние погрешностей измерений (с ограничениями на абсолютную погрешность) на оценку

метода моментов. Имеем

Погрешность s2 зависит от способа вычисления s2. Если используется формула

(22)

то необходимо использовать соотношения

По сравнению с анализом влияния погрешностей на оценку а* здесь возникает новый момент – необходимость учета погрешностей в случайной составляющей отклонения оценки

от оцениваемого параметра, в то время как при рассмотрении оценки максимального правдоподобия погрешности давали лишь смещение. Примем в соответствии с неравенством Чебышева

(23)

тогда

Если вычислять s2 по формуле

(24)

то аналогичные вычисления дают, что

т.е. погрешность при больших а существенно больше. Хотя правые части формул (22) и (24) тождественно равны, но погрешности вычислений по этим формулам весьма отличаются. Связано это с тем, что в формуле (24) последняя операция – нахождение разности двух больших чисел, примерно равных по величине (для выборки из гамма-распределения при большом значении параметра формы).

Из полученных результатов следует, что

При выводе этой формулы использована линеаризация влияния погрешностей (выделение главного линейного члена). Используя связь (21) между абсолютной и относительной погрешностями, можно записать

Эта формула отличается от приведенной в [4, с.44, ф-ла (19)]

поскольку в вместо (23) использовалась оценка

Используя соотношение (23), мы характеризуем влияние погрешностей «в среднем».

Доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности 0,95, имеет вид

Если

то получаем доверительный интервал [2,54; 7,46] вместо [2,86; 7,14] при

Хотя при

доверительный интервал для a при использовании оценки метода моментов

шире, чем при использовании оценки максимального правдоподобия а*, при

результат сравнения длин интервалов противоположен.

Необходимо выбрать способ сравнения двух методов оценивания параметра а, поскольку в длины доверительных интервалов входят две составляющие – зависящая от доверительной вероятности и не зависящая от нее.

Выберем

т.е.

Тогда оценке максимального правдоподобия а* соответствует полудлина доверительного интервала

(25)

а оценке

метода моментов соответствует полудлина доверительного интервала

(26)

Ясно, что больших а или больших n справедливо неравенство

т.е. метод моментов лучше метода максимального правдоподобия, вопреки классическим результатам Р.Фишера при

[33,с.99].

Из (25) и (26) элементарными преобразованиями получаем следующее правило принятия решений. Если

то

и следует использовать

; а если

то

и надо применять а*. Для выбора метода оценивания при обработке реальных данных целесообразно использовать

(см. раздел 5 в ГОСТ 11.011-83 [4, с.10-11]).

Пример анализа реальных данных опубликован в.

На основе рассмотрения проблем оценивания параметров гамма-распределения можно сделать некоторые общие выводы. Если в классической теории математической статистики:

а) существуют состоятельные оценки an параметра а,

б) для повышения точности оценивания объем выборки целесообразно безгранично увеличивать;

в) оценки максимального правдоподобия лучше оценок метода моментов,

то в статистике интервальных данных, учитывающей погрешности измерений, соответственно:

а) не существует состоятельных оценок: для любой оценки an существует константа с такая, что

б) не имеет смысла рассматривать объемы выборок, большие «рационального объема выборки»

в) оценки метода моментов в обширной области параметров

лучше оценок максимального правдоподобия, в частности, при

и при

Ясно, что приведенные выше результаты справедливы не только для рассмотренной задачи оценивания параметров гамма-распределения, но и для многих других постановок прикладной математической статистики.

Январь 24, 2019 Психология труда, инженерная психология, эргономика
Еще по теме
2.3.5. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
СРАВНЕНИЕ РАНЖИРОВОК ПО МЕТОДУ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ И МЕТОДУ МЕДИАН.
Непараметрические методы сравнения выборок.
Параметрические методы сравнения выборок.
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ МОТИВАЦИИ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
2.4. ЭТАП 3. ИТОГОВОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
Оценивание альтернатив
ОЦЕНИВАНИЕ ДРУГИМИ
ОЦЕНИВАНИЕ НЕБОЛЬШОЙ ГРУППОЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
ОЦЕНИВАНИЕ ОДИНОЧНЫМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ
ОЦЕНИВАНИЕ В УСЛОВИЯХ РЕАЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ.
2.4.4. ДАЛЬНЕЙШАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНИВАНИЯ
Добавить комментарий